δύο τὰ πολλά ἐστι τῶν ἀνθρωπίνων//La mayoría de la cosas humanas son duales (Alcmeón de Crotona)
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Probablemente fue la música lo que sugirió a Pitágoras la estructura matemática del cosmos. Analizando el monocordio, pudo comprobar que los sonidos son agudos o graves en función de la longitud de la cuerda. En efecto, si los intervalos musicales (de cuarta, quinta y octava) pueden expresarse mediante números, de igual modo las cosas pueden tener la forma de números y la belleza y armonía del cosmos depende de proporciones numéricas.

Esta tesis se sostuvo al menos hasta el descubrimiento de los números irracionales, cuando constataron que la diagonal y el lado del cuadrado no son conmensurables en términos de números racionales. Ello provocó, al parecer, una profunda crisis dentro de la escuela.

También los intervalos espaciales de las esferas celestes respondían, según ellos, a intervalos musicales. De ahí la supuesta “música de las esferas”, aunque no seamos capaces de percibirla.

Según Aristóteles los llamados pitagóricos identifican los números con los principios de las cosas, es decir, los números constituyen la estructura esencial del cosmos :

“Los llamados pitagóricos, que fueron los primeros en cultivar las Matemáticas, no sólo hicieron avanzar a éstas, sino que, nutridos de ellas, creyeron que sus principios (archás) eran los principios de todos los entes. Puesto que los números son, entre estos principios, los primeros por naturaleza (hoì arithmoì phýsei prôtoi), y en ellos les parecía contemplar muchas semejanzas (homoiómata pollà) con lo que es (toîs oûsi) y con lo que deviene (gignoménois) – más que en el fuego, la tierra o el agua…-; puesto que, en efecto, las demás cosas parecían asemejarse a los números en su naturaleza toda, y los números eran los primeros de toda la naturaleza, pensaron que los elementos de los números (tà tôn arithmôn stoicheîa) eran los elementos de todos los entes y que todo el cielo era armonía y número (kaì tòn hólon ouranón harmonían eînai kaì arithmón)” (Aritóteles: Metafísica, A 5, 985 b 23).

El pluralismo de los números se reduce, sin embargo, a un dualismo cosmológico de elementos, tal como aparece en la tabla de opuestos de los pitagóricos, atribuida por Aristóteles a Alcmeón de Crotona (Aristóteles les reprocha que no distingan entre materia y forma).

Esa lista de 10 opuestos está encabezada por lo limitado (péras) y lo ilimitado (ápeiron), seguida de lo impar y lo par, lo uno y lo múltiple etc., de modo que los elementos del lado izquierdo tienen un valor superior a los de la derecha.

El principio básico de la armonía es que lo limitado o perfecto ha de imponerse a lo ilimitado o imperfecto. El término de la izquierda es lo bueno y el de la derecha es lo malo.

Probablemente, a partir de la armonía musical se infirió la armonía cósmica y luego la armonía ética (kósmios, a imitación del cosmos). El término griego “kósmos” significa al mismo tiempo orden y belleza. W. Jaeger y R. Mondolfo afirman que el orden armonioso del mundo es la idea central de la escuela. Ésta es la referencia de Aristóteles a la lista de los principios opuestos:

“Otros miembros de la misma escuela dicen que los principios son diez y los disponen por columnas de pares coordinados:
Límite e ilimitado (péras kaì apeiron) Impar y par Uno y múltiple (hén kaì plêthos) Derecho e izquierdo Masculino y femenino Estático y en movimiento (emeroûn kaì kinoúmenon) Recto y curvo Luz y oscuridad (phôs kaì skótos) Bueno y malo (agathón kaì kakón) Cuadrado y oblongo
Éste es el modo en que parece que Alcmeón de Crotona lo concibió” (Aristóteles: Metafísica, A, 986 a).

Los pitagóricos consideraban el 10 como número sagrado, por ser suma de 1, 2, 3 y 4, y representado con la tetraktýs, con figura triangular y por ella hacía los juramentos. Combinando la aritmética y la geometría, clasificaban los números en triangulares, rectangulares, etc., siendo los pares los perfectos.

Si los milesios (Tales, Anaximandro y Anaxímenes) se habían preguntado por la materia del cosmos, los pitagóricos indagaron su forma o estructura, concepción cercana a la teoría actual de la materia. La pregunta milesia era: ¿de qué material está hecho el mundo? La pitagórica era por la forma o estructura del cosmos, que era matemática.

En la evolución del pitagorismo, desde el s.VI A.E.C al IV E.C., pueden distinguirse dos períodos. En el primero se da una estrecha relación entre aritmética y geometría y de ambas con la física. De este modo, no se distingue entre unidades numéricas, puntos geométricos y puntos físicos, una forma primitiva de átomos.

Nuestra visión actual de los números como cantidades abstractas es muy diferente. Hay un “atomismo” de las unidades y una visión del espacio como agregado de puntos extensos. Conviene señalar que para ellos toda existencia es corporal y extensa y que Platón será el primero en hablar de entidades no corpóreas ni extensas, diferenciando de forma clara entre lo material sensible y lo inmaterial inteligible, como las Ideas.